2020数学全国卷一，2020数学全国卷一19理数

2020年高考数学全国卷一理科第19题，是一道综合考察立体几何和三角函数知识的题目。本题主要围绕圆锥的几何性质展开，要求考生具备扎实的立体几何基础和空间想象能力。以下是针对该题目的详细解析。

证明：A⊥平面C

标签：我们需要证明A垂直于平面C。根据题意，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD。AC是底面的内接正三角形，为DO上的一点，O=。

重点内容：为了证明A垂直于平面C，我们可以利用三垂线定理。连接AO，由于AC是正三角形，所以AO垂直于C。又因为AE=AD，所以AE垂直于AD。由于O=，根据三垂线定理，我们可以得出A垂直于C。

求二面角C-E的余弦值

标签：我们需要求二面角C-E的余弦值。根据题意，设DO的长度为a，由题设可得O=，AO=，A=a。

重点内容：为了求二面角C-E的余弦值，我们需要找到平面C和平面CE的法向量。由于AC是正三角形，所以C垂直于AE，因此C垂直于平面C。同理，由于在DO上，O垂直于DO，所以O垂直于平面CE。C和O可以作为平面C和平面CE的法向量。

设平面C的法向量为n1，平面CE的法向量为n2，则有：

n1=(0,0,1)

n2=(x,y,z)

根据法向量的点积公式，二面角的余弦值可以表示为： cosθ=(n1·n2)/(|n1||n2|)

将n1和n2代入上式，得到： cosθ=(0x+0y+1z)/(1√(x^2+y^2+z^2))

由于O=，所以z=，代入上式，得到： cosθ=1/√(x^2+y^2+)

为了求出x和y的值，我们需要利用正三角形的性质。由于AC是正三角形，所以∠AC=60°，因此cos∠AC=1/2。根据余弦定理，我们有：

A^2=C^2+AC^2-2CACcos∠AC

a^2=C^2+AC^2-2CAC1/2

a^2=C^2+AC^2-CAC

由于AC是正三角形，所以C=AC=a/√3，代入上式，得到：

a^2=(a/√3)^2+(a/√3)^2-(a/√3)(a/√3)

a^2=2(a^2/3)-a^2/3

a^2=a^2/3

C=AC=a/√3。由于C垂直于AE，所以C的坐标为(0,a/√3,0)。同理，由于O=，所以O的坐标为(0,0,)。

将C和O的坐标代入n1和n2中，得到：

n1=(0,0,1)

n2=(0,a/√3,)

代入cosθ的表达式，得到：

cosθ=1/√((0)^2+(a/√3)^2+()^2)

cosθ=1/√(a^2/3+)

cosθ=1/√(a^2/3+a^2/3)

cosθ=1/√(2a^2/3)

cosθ=√3/(2a)

二面角C-E的余弦值为√3/(2a)。